Bijection

Applications

Une application $f$ d'un ensemble $E$ (ensemble de départ) dans un ensemble $F$ (ensemble d'arrivée) est une correspondance qui, à tout élément $x$ de $E$ associe un unique élément de $F$. On la note :

$$f: \left \{\begin{array}{lll}E & \longrightarrow & F\\x & \longmapsto & f(x)\end{array}\right. $$

Si $y=f(x)$, $y$ est dit image de $x$ par $f$ et $x$ antécédent de $y$ par $f$.

Si $A$ est un sous-ensemble de $E$ on appelle image directe de $A$ l'ensemble  des images des éléments de $A$ :  $f(A)=\{y\in F,\ \exists x\in A, y=f(x)\}.$

Si $B$ est un sous-ensemble de $F$ on appelle image réciproque de $B$ l'ensemble des antécédents des éléments de $B$ :  $f^{-1}(B)=\{x\in E,\ exists y\in B, y=f(x)\}.$

Si $A$ est une partie de $E$, la restriction de $f$  à $A$ est l'application définie  par : $ f_{|A} : \left \{\begin{array}{lll}A & \longrightarrow & F\\x & \longmapsto & f(x)\end{array} \right. $

Si $G$ un ensemble qui contient $E$, un prolongement de $f$ à $G$ est une application $g$ de $G$ dans $F$ telle que $f$ soit la restriction de $g$ à $E$.

Si $A$ est un sous-ensemble de $E$, on appelle fonction indicatrice de $A$ que l'on note $\varphi_A : \left \{\begin{array}{lll}E & \longrightarrow & \{0,1\}\\x & \longmapsto & \begin{cases}1&\textrm{si }x\in A\\ 0&\textrm{sinon }\end{cases}\end{array}\right. $

Bijections

Soit $f$ une application de $E$ dans $F$.

  • on dit que $f$ est une bijection  de $E$ sur $F$ si pour tout $y\in F,$ il existe un et un seu} $x\in E$ tel que $y=f(x)$ :  $\forall y\in F,\ \exists\,! x\in E,\ y=f(x)$

Remarque L'équation $y=f(x)$ où $y\in F$ fixé admet une solution unique dans $E$.

  • on dit que $f$ est une surjection  de $E$ sur $F$ si pour tout $y\in F,$ il existe au moins un $x\in E$ tel que $y=f(x)$. :$ y\in F,\ \exists  x\in E,\ y=f(x)$
  • on dit que $f$ est une injection de $E$ sur $F$ si pour tout $y\in F,$ il existe au plus un $x\in E$ tel que $y=f(x)$.$(\forall(x,x')\in E^2,\ f(x)=f(x') \Rightarrow x=x')\Leftrightarrow (\forall(x,x')\in E^2,\ x\neq x' \Rightarrow f(x)\neq f(x'))$

par conséquent $f$ bijection  de E dans F $\Leftrightarrow$ $f$ injection et $f$ surjection de E dans F.

Réciproque

si $f$ est une bijection de $E$ dans $F$,  l'application induite de $F$ dans $E$ où pour tout $y\in F$ on associe l'unique solution $x\in E$ de l'équation $y=f(x)$ est noté $f^{-1}$ et est appelée bijection réciproque de$F$ dans $E$.

  • $f^{-1}$  est une bijection de $F$ dans $E$ et on a $(f^{-1})^{-1}=f$.
  • Soient deux applications bijectives $f$ et $g$, alors l'application composée de $g$ par $f$ notée $g\circ f = g[f(x)]$ est une bijection et  $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$.

 Dans le cadre des fonctions de R dans R, une bijection et sa réciproque ont des graphes symétriques l'un de l'autre par rapport à la première bissectrice si le repère est orthonormé.

 

Fichier Joint: