C

Forme algébrique,  exponentielle

    Les nombres complexes peuvent être représentés par des points du plan : $z$ est l'affixe du point $M$, du vecteur $\overrightarrow{OM}$.

  •     $z=x+iy$ (forme algébrique),
  •     $z=[\rho,\theta]=\rho e^{i\theta}$ (forme exponentielle) si $z\neq 0$.
  • $\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\begin{cases} x = \Re(z)=\rho\cos(\theta),\\ y = \Im(z)=\rho\sin(\theta).\end{cases}$
  • $  OM = \rho=|z|=\sqrt{x^2+y^2} $.
  • $   \theta=arg(z) = \left\{ \begin{array}{ll}\arctan(y/x), & \hbox{si $x > 0$;} \\ \arctan(y/x)+\pi & \hbox{si $x<0$.}\\ sign(y)\frac{\pi}{2}& \hbox{si $x=0$.} \end{array} \right.$ ou $ \theta$  déterminée par $\cos \theta = \dfrac{x}{\rho}$ et $\sin \theta = \dfrac{y}{\rho}$
  • $z=z' \Leftrightarrow \Re(z)=\Re(z')$ et $ \Im(z)=\Im(z')\Leftrightarrow  |z|=|z'|$ et $\arg(z)=\arg(z')\quad (2\pi)$.
  • $z\in R \Leftrightarrow \Im(z)=0\Leftrightarrow arg(z)=0\quad (\pi) \Leftrightarrow z=\overline{z}$.
  • $z\in iR \Leftrightarrow \Re(z)=0 \Leftrightarrow arg(z)=\dfrac{\pi}{2}\quad (\pi) \Leftrightarrow z=-\overline{z}$.

 

Règles de calcul

  • Addition : $\forall (x,y,x',y')\in R^2,\ z+z' = (x+i y)+(x'+i y')=(x+x')+i(y+y')$.
  • Produit : $\forall (x,y,x',y')\in R^2,\ zz'=(x+i y)(x'+i y')=(xx'-yy')+i(xy'+x'y)$.
  • $zz'=\rho e^{i\theta}\rho'e^{i\theta'}=\rho\rho'e^{i(\theta+\theta')}\Leftrightarrow |zz'|=|z||z'|$ et $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')\quad  (2\pi)$.
  • Inégalité triangulaire : $\forall (z,z')\in C,\ ||z|-|z'|| \leq |z+z'|\leq|z|+|z'|$.
     

Conjugué

  • $ z=x+iy=\rho e^{i\theta}$ alors $\overline{z}=x-iy =\rho e^{-i\theta}\quad ;\quad x=\Re(z)=\frac{z+\overline{z}}{2};y = \Im(z)= \frac{z-\overline{z}}{2}$ ;
  • Opération et conjugaison : $\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}\quad ;\quad \overline{zz'}=\overline{z}\overline{z'}\quad ;\quad\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}=\frac{1}{\rho}e^{-i\theta} \quad;\quad \overline{z^n}=\overline{z}^n$ ;
  • Autres propriétés : $\overline{\overline{z}}=z\quad;\quad  z\overline{z}=x^2+y^2=|z|^2 \quad ; \quad z=\overline{z}\Leftrightarrow z\in  R\quad ; \quad z=\overline{z}\Leftrightarrow i z$ imaginaire pur.

    

Exponentielle Complexe

$\forall z\in C,\ z=a+ib,\ e^z=e^{a+ib}=e^a e^{ib}=e^a(\cos b + i\sin b)\in C^*$.

Résultat : $\forall (z_1,z_2)\in C^2,\ e^{z_1+z_2}=e^{z_1}\times e^{z_2}$.


Applications à la trigonométrie

Formule d'Euler  : $\forall \theta\in R,\ \cos\theta =\Re(e^{i\theta})=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\quad;\quad \sin\theta=\Im(e^{i\theta}) =\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.
Formule de Moivre] : $\forall \theta\in R,\ \forall n\in N,\ \left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta} \Longleftrightarrow(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$.
$ e^{i\alpha}+e^{i\beta}=e^{i\frac{\alpha+\beta}{2}}\left(e^{i\frac{\alpha-\beta}{2}}+e^{i\frac{-\alpha+\beta}{2}}\right) = 2e^{i\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.

 la forme exponentielle facilite le calcul au niveau des puissances sur  C.

pour calculer la puissance d'un complexe : $\left(re^{i\theta}\right)^n=r^ne^{in\theta}$
pour résoudre une équation $z^n=Z$, $z$ inconnu, $Z$ paramètre complexe non nul, il est plus simple de résoudre $r^ne^{in\theta}=Re^{i\Theta}$ où $Z=Re^{i\Theta}$ (donné) et $z=re^{i\theta}$ (inconnu).
$z^n=r^n e^{in\theta}=Re^{i\Theta}\Leftrightarrow r=\sqrt[n]{R}$ et $\theta = \dfrac{\Theta}{n}+ \dfrac{2k\pi}{n}$, $0\leq k\leq n-1$.

Équations

  • les racines d'un trinôme à coefficients réels sont, sur $ C$, ou des réels$(\Delta \geq 0)$, ou des complexes conjugués ($\Delta<0$).
  • En posant $\delta$ tel que $\delta^2=\Delta$ alors les solutions d'un trinôme sur C sont $z_1=\dfrac{-b+\delta}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b-\delta}{2a}$.
  • Si $\Delta=0$, alors $z_1=z_2=-\dfrac{b}{a}$ sinon les racines sont distincts.
  • $a\neq 0,\ az^2+bz+c =a (z-z_1)(z-z_2) \Leftrightarrow S=z_1+z_2= \dfrac{-b}{a}\ ;\ P=z_1z_2=\frac{c}{a}$.

 

Fichier Joint: 

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