Calcul Intégral - Première Partie

Formulaire - Dérivées

 

-- Les fonctions classiques, excepté $x\mapsto |x|,\ x\mapsto Ent(x),\ x\mapsto \sqrt[n]{x}$ sont dérivables sur leur ensemble de définition.

Formulaire : voire Fiche

-- La somme, le produit, le quotient, la composée de fonctions dérivables sont dérivables.

Formulaire : voire Fiche

Intégration

on appelle  primitive d'une fonction $f$ définie sur $I$, intervalle de  $R$, toute fonction $F$ dérivable sur $I$ vérifiant  $F'=f$

Théorème : Si $f$ est continue sur $I$, intervalle de  $R$, alors $f$ admet des primitives sur $I$.

Théorème : Si $f$ admet une primitive sur $I$,  alors $f $admet une infinité de primitives, toutes égales à une constante près.

Notation : $a\in I$, intervalle de  $R$, $\displaystyle x\in I\mapsto \int_a^x f(t)\ dt$ est  LA primitive de $f$ nulle en $a$,  $\displaystyle \int f(t)\ dt$  UNE  primitive quelconque.

on appelle   intégrale de $a$ à $b$ de $f$ (($a,b\in I^2$)  le réel $\displaystyle\int_a^b f(t)\ dt=\big[F(t)\big]_a^b=F(b)-F(a).$

Formulaire

  $F,\ G$ primitives de $f,\ g. I,$ intervalle de définition de la primitive définie à une constante près ($C$).

Formulaire : voire Fiche

Intégration par parties :

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions de classe $C^1$ sur un intervalle $I$ alors $\displaystyle a\in I,\ \forall x\in I, \int_a^x u'(t)v(t) \ dt =[u(t)v(t)]_a^x -\int_a^x u(t)v'(t) \ dt $

Équations différentielles

Une  équation différentielle est une équation dans laquelle l'inconnue est une fonction $f$, cette équation faisant intervenir la fonction  ainsi que ses dérivées successives.

Résolution de $(E)\ :\ y'+ay=b, a\neq 0$

Théorème : Les fonctions solutions de l' équation homogène associée $(H)\ :\ y'+ay=0$ sont les fonctions définies sur  R par $\displaystyle \forall x\in R,\ y(x)=Ce^{-ax}$ où $ C$ est une constante réelle.

 Remarque : La fonction constante $y_0$ définie par $\forall x\in R,\ y_0(x)= \dfrac{b}{a}$ est une solution particulière de $(E)$.

Résolution de $(E)\ :\ y''+ay'+by=c, a\neq 0$

On appelle  équation homogène associée l'équation $(H)\qquad ay''+by'+cy=0$

On appelle  équation caractéristique associée à $(H)$ l'équation  $(E_c): ar^2+br+c=0.$

Théorème : Résolution de $(H) : ay''+by'+cy=0  : \exists (\lambda,\mu)$ réels

si $E_c$ a deux solutions $(r_1,r_2)\in R^2$, $ f:x\mapsto \lambda_1 e^{r_1 x}+\mu e^{r_2 x}$

si $E_c$ a une solution $(r_0,r_2)\in R$, $f:x\mapsto(\lambda x+\mu) e^{r_0 x}$

si $E_c$ a deux solutions $r=\alpha\pm \beta i\in C^2$, $f:x\mapsto e^{\alpha x}(\lambda\cos \beta x+\mu\sin\beta x)$

 Remarque :  La fonction constante $y_0$ définie par $\forall x\in R,\ y_0(x)= \dfrac{c}{b}$, si $b\neq 0$ est une solution particulière de $(E)$.

Théorème : L'ensemble des solutions de $(E)$ est $S_E=\{y_0+y_H,y_H$ solution de $(H)\}$ dans les deux types d'équation.