Continuité, dérivabilité sur un intervalle

Continuité sur un intervalle

Une fonction est continue sur un intervalle $I$, si sa restriction à $I$ est continue en tout point de $I$.

Théorème :  L'image par une fonction continue d'un intervalle est un intervalle (Théorème des valeurs intermédiaires).

Conséquence : si $f$ est une fonction définie continue sur un intervalle $I$ contenant les réels $a$ et $b$ alors 

  • toute valeur $y$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ admet au moins un antécédent $x$ compris entre $a$ et $b$.
  • Si  $f(a)f(b)\leq 0,$ alors $\exists c\in I,\ f(c)=0$
  • une fonction continue sur un intervalle qui ne s'annule pas garde un signe constant.

Théorème : L'image d'un segment par une fonction continue est un segment.

en particulier, une fonction continue sur un intervalle est bornée (et atteint ses bornes)

Théorème de bijection : Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur l'image $J=f(I)$, intervalle de même nature que $I$ et dont les bornes sont les limites de $f$ aux bornes de $I$

  • La  réciproque $f^{-1}: J\rightarrow I$ est monotone, continue, de même sens de variation que $f$.
  •  La courbe représentative de $f^{-1}$ s'obtient à partir de celle de $f$ par une symétrie par rapport à la droite $\Delta{y=x}$.
  • Si $f$ dérivable et $f'\neq 0$ alors  $f^{-1}$ est dérivable et  $(f^{-1})'=\dfrac{1}{f'\circ f^{-1}}$

Fonction arctan

La fonction arctan est impaire.

$ R\setminus \{\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z\} \overset{\tan}{\rightarrow}  R\overset{\arctan}{\rightarrow}\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[\overset{\tan}{\rightarrow}  R$

$\forall x\in  R, \tan(\arctan x)=x$

$\arctan(\tan x) = y \Leftrightarrow x=y (\pi)$ et  $y\in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$

$\forall x\in R, (\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}$

Dérivation sur un intervalle

Une fonction est dérivable sur un intervalle $I$, si sa restriction à $I$ est dérivable en tout point de $I$.

  • Existence d'extremum : Si $f$ est dérivable sur $]a,b[$ et admet en $c\in]a,b[$ un extremum, alors $f'(c)=0$
  • Soit $f$ continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$
  • Théorème de Rolle : Si $f(a)=f(b)$ alors il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.
  • Égalité des accroissements finis : $\displaystyle \exists c\in]a,b[, f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\Leftrightarrow f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$.
  • Théorèmes liés aux variations :
    • $f$ est  croissante sur $[a,b]$ si et seulement si $\forall x\in]a,b[,f'(x)\geq 0$
    • si $\forall x\in]a,b[,f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $[a,b]$
    • si  $f$ est continue sur $[a,b]$, dérivable sur $[a,b]$ privé d'un nombre fini de points et si $f'>0$ sur $]a,b[$, alors $f$ est strictement croissante sur $[a,b]$.

Dérivées d'ordre supérieurs

On définit ainsi par récurrence pour tout entier naturel $n$ et lorsqu'elle existe la dérivée $n$\up{ème} de $f$ en $x_0$ par :

$$ f^{(0)}=f\qquad ;\qquad \forall n\in N, f^{(n+1)}=(f^{(n)})'\qquad\textrm{on note : }f^{(n)}=\dfrac{\ d^n f}{\ dx^n}=D^n f$$

On dit que $f$ est de classe $\mathscr C^n$ sur un intervalle $I$ si $f$ est $n$ fois dérivable et si la dérivée $n$\up{ème} est continue.

$f$ est de classe $\mathscr C^{\infty}$ sur $I$ si $f$ est indéfiniment dérivable.

 

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