Dénombrements - Probabilités

Dénombrement

L'ensemble $E$ est fini s'il est vide ou s'il existe un entier naturel $n$ et une bijection de $[[1,n]]$ sur $E$.

Cardinal d'une union

  • Si $A$ et $B$ sont deux ensembles disjoints ($A\cap B=\emptyset$), alors $\text{Card}(A\cup B)=\text{Card}(A)+\text{Card}(B)$
  • $\forall (A,B)\in\mathcal P(\Omega)^2,\ \text{Card}(A\cup B)=\text{Card}(A)+\text{Card}(B)-\text{Card}(A\cap B)$
  • $A_1 , A_2  \dots A_n$  des ensembles t 2 à 2 disjoints, alors $\displaystyle\text{Card}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)=\sum_{i=1}^n \text{Card}(A_i) = \text{Card}(A_1) + \cdots + \text{Card}(A_n)$
  • Règle additive : dans un arbre, on additionne les branches parallèles.

Cardinal d'un produit

  • $\text{Card}(E\times F)=\text{Card}(E)\times \text{Card}(F)$
  • Règle multiplicative : dans un arbre on multiplie le long des branches.

Dénombrement classique

  • il y a $n^p$ $p$-listes dans un ensemble à $n$ éléments, c'est aussi  le nombre de façons de choisir successivement p objets parmi n, avec d'éventuelles répétitions.
  • il y a $n(n-1)(n-2)\dots (n-p+1)=\displaystyle\frac{n!}{(n_p)!}$ $p$-listes sans répétition dans un ensemble à $n$ éléments, c'est le nombre de façons de choisir successivement p objets parmi n, sans répétition.
  • il y a $P_n=n!$ permutations dans un ensemble à n éléments, c'est le nombre de façons de choisir successivement tous les objets d'un ensemble, sans répétition.
  •  il y a $\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$ combinaisons ou sous-ensembles de $p$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments, c'est le nombre de façons de choisir simultanément p objets parmi n.
  •  l'ensemble $\mathcal P(E)$ des parties de $E$ est fini et le nombre de sous-ensembles de $E$ est $\text{Card}(\mathcal P(E))=2^n$
  • Si un mot est formé $n$ lettres $(a_i)_{1\leq i\leq n}$,  les $a_i$ étant répétées $m_i$ fois, le nombre d'anagrammes  est $\dfrac{(m_1 + m_2 + \cdots +m_n)!}{m_1! m_2! \dots m_n!}$.

Vocabulaire des expériences aléatoires

$\Omega$, l'ensemble des issues(résultats, réalisations ou éventualités) s'appelle univers des possibles.

L'ensemble des parties de  $\Omega$ constitue l'ensemble des événements.

Si  $\omega\in\Omega$  , $\{\omega\}$ est appelé événement élémentaire, $\Omega$ est l'événement certain, $\emptyset$ est l'événement impossible.

$\overline{A}$ est l'événement contraire. $p(\overline{A}) = 1 - p(A)$

$\cap$ correspond à la conjonction ET ;  $\cup$ correspond à la conjonction OU;  $A\subset B$ correspond à une implication !

$A\cap B=\emptyset$ se lit $A$ et $B$ sont incompatibles.

Un système complet pour $\Omega$ est une famille finie de parties deux à deux disjointes dont la réunion est l'ensemble $\Omega$.

 Concrètement, on reconnaît un système complet d'événements si un  et un seul  événement de la famille  se réalise.

Vocabulaire des probabilités

Sur $(\Omega,\mathcal P(\Omega))$, on définit une probabilité sur $(\Omega,\mathcal P(\Omega))$ comme une application de $\mathcal P(\Omega)$ dans $[0,1]$ vérifiant :

  • $\forall A\in\mathcal P(\Omega)),\ P(A)\geq 0$
  • $P(\Omega)=1$
  • Si $A$, $B$ incompatibles, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Propriétés d'une probabilité :

  • $P(\overline{A})=1-P(A)$ ;  $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap\overline{B})$ : $P(\emptyset)=0$ ; $PA\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
  • Si $\Omega=\{\omega_1,\dots\omega_n\}$, et $p_1, p_2\dots p_n$ sont des réels positifs ou nuls de somme 1, il existe une et une seule probabilité $P$ sur $\Omega$ telle que $P(\{\omega_i\}) = p_i$ pour tout $i\in[[1,n]]$.
  •  Pour toute famille $(A_i)_{1\leqslant i\leqslant p}$ finie d'événements   deux à deux incompatibles  $\displaystyle P\left(\bigcup_{i=1}^p A_i\right)=\sum_{i=1}^p P(A_i)$.
  • En cas d'équiprobabilité (probabilité uniforme), pour tout événement $A$, $P(A)=\dfrac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}.$

Les probabilités conditionnelles

Définition : Soit $(\Omega ,\mathcal P(\Omega),P)$ un espace probabilisé et $A$ un événement de probabilité non nul, l'application $P_A$ définie par $\forall B\in\mathcal P(\Omega), P_A(B)  = P(B/A)=\dfrac{P(A\cap   B)}{P(A)}$ est une probabilité appelée probabilité conditionnelle sachant $A$.

Formule de conditionnement : $P(A\cap B)=P(A)\times P(B/A)$.

Formule des probabilités composées (conditionnements successifs) : Étant donné une famille finie $A_1,A_2\dots A_n$ de $n$ événements de $\mathcal P(\Omega)$ telle que $P(A_1\cap A_2\cap \dots \cap A_n)\neq 0$ alors

$$\displaystyle P(A_1\cap A_2\cap \dots \cap A_n)=P(A_1)\times P(A_2/A_1)\times P(A_3/A_1\cap A_2)\times \dots \times p(A_n/A_1\cap A_2 \dots \cap A_{n-1})$$

Formule des probabilités totales :Soit $\{A_1,A_2\dots A_n\}$ un système complet d'événements, alors pour tout événement $B$,

$$P(B)=\displaystyle\sum_{i=1}^n P(B\cup A_i) \qquad \text{OU}\qquad   p(B)=\sum_{i=1}^n p(A_i)p_{A_i}(E),\text{ si tous les }P_{A_i}\text{ sont non nuls.} $$

Formule de Bayes : Soit $\{A_1,A_2\dots A_n\}$ un système complet d'événements d'un univers probabilisé $(\Omega,\mathcal P(\Omega),p)$,

$$\displaystyle\forall i_0\in[[1,n]],\forall B\in\mathcal P(\Omega), \ p_B(A_{i_0}) =  \frac{p(A_{i_0})\times p_{A_{i_0}}(B)}{p(B)}\qquad\text{si }p(B)\neq0\text{ et }p(A_{i_0})\neq 0$$

Indépendance :

On dit que deux événements sont indépendants si  $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

une famille finie $A_1,A_2\dots A_n$ de n événements de $\mathcal P(\Omega)$ est  une famille d'événements mutuellement indépendants (ou indépendants dans leur ensemble) pour la probabilité $p$ si pour toute sous-famille de p événements on a

$$ p(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap \dots \cap A_{i_p})=p(A_{i_1})\times p(A_{i_2})\times \dots \times p(A_{i_p})$$

On peut justifier que des événements sont indépendants parce que les tirages le sont ou par simple simplification du problème.

Ne pas confondre indépendance et incompatibilité

$(A_i)$  incompatibles 2 à 2 $\displaystyle\Rightarrow p\left(\bigcup_i A_i\right) = \sum_i p(A_i)$ et cela correspond à des arcs parallèles

$(A_i)$ ne sont pas incompatibles 2 à 2, il faut utiliser la formule de Poincaré (Hors programme)

$(A_i)$ mutuellement  indépendants  $\displaystyle\Rightarrow p\left(\bigcap_i A_i\right)  = \prod_i p(A_i)$ et cela correspond à des arcs en série

 $(A_i)$ ne sont pas mutuellement  indépendants, il faut utiliser la formule des probabilités composées

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