Développements limités

Généralités

Pour $n\in Z$, on dit que $g$ est  un petit-o de $x^n$  au voisinage de $0$  et on écrit $g =  o(x^n)$ lorsque $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{g(x)}{x^n}=0$. (respectivement au voisinage de +$\infty$).

Notation : on note $o(x^n)$ toute fonction qui est un  petit-o de $x^n$  au voisinage de $0$, on précise $o_{\infty}(x^n)$  en +$\infty$.

On dit que $f$ admet un \definmot{développement limité à l'ordre  $n$ en $0$}, $n\in N$, que l'on note  $\text{dl}_{n}(0)$,  s'il existe un polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $n$  tel que :

$$ f(x)=P_n(x)+o(x^n)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\cdots+a_{n}x^n +o(x^n).$$

Le polynôme $P_n$ s'appelle la partie régulière du développement limité de $f$ à l'ordre $n$.

Formules de Taylor-Young :

 Si  $f\in\mathscr C^{n}(0)$, alors $f$ admet un $dl_n(0)$  et $\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}(x)^k+o(x^n)$.

Opérations sur les dl :

Si $f$ et $g$ admettent des $dl_n$ en 0 [$f(x)=P_n(x)+o(x^n)$ et $g(s)= Q_n(x)+o(x^n)$] alors :

  • Troncature : Pour tout $p\in[[0,n]]$,  f admet un $dl_p(0)$ et  $f(x)=Tr_p(P_n)+o(x^p)$,  avec $\left(Tr_p(P_n)=\displaystyle\sum_{k=0}^p a_kx^k\textrm{ si }P_n\displaystyle\sum_{k=0}^n a_kx^k\right)$.
  • Linéarité : quelque soient $\alpha,\ \beta$ réels, $\alpha f+\beta g$ admet un $dl_n$ en 0 et $\forall x\in D_f\cap D_g,\ \alpha f(x)+\beta    g(x)=\alpha  P_n(x)+\beta    Q_n+o(x^n)$.
  • Composée : Si $\displaystyle\lim_{x\to0}g(x)=0$, $g\circ  f$ admet un $dl_n(0)$ et $ f\circ g (x)=Tr_n(Q_n[P_n(x)])+o(x^n)$.
  • Inverse :  si $f(0)\neq 0$ alors $\displaystyle\frac{1}{f}$ admet un $dl_n(0)$ qui s'obtient en écrivant $\displaystyle\frac{1}{f}=\displaystyle\frac{1}{f(0)}\times \displaystyle\frac{1}{1+u(x)}$ avec $u(0)=0$, puis en utilisant la composition des $dl_n(0)$ des fonctions $u(x)$ et $\displaystyle\frac{1}{1+x}$ car $\lim{x\to0}u-x)=0$.
  • Quotient : si $g(0)\neq 0$ alors $\displaystyle\frac{f}{g}$ admet un $dl_n(0)$ qui s'obtient en écrivant $\displaystyle\frac{f}{g}=f(x)\times \displaystyle\frac{1}{g(x)}$.
  • Intégration : Si $F$ est une primitive de $f$,  alors $F$ possède un développement limité d'ordre $n+1$ au voisinage de 0

$$\displaystyle F(x)=F(0)+\sum_{k=0}^n \frac{a_k}{k+1}x^{k+1}+o(x^{n+1})$$

  • Dérivation : si une fonction dérivable $f$ admet un $\text{dl}_{n}(x_{0})$, cela n'implique pas que $f'$ possède un  $\text{dl}_{n-1}(x_{0})$.   

 

 

Dl à connaître

$dl_n(0) : e^x = $  : $\displaystyle 1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(x^n)=\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!} + o(x^n)$

$dl_{2p+1}(0) : \sin x = $  : $\displaystyle x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^p\frac{x^{2p+1}}{2p+1}+o(x^{2p+1})$

$dl_{2p}(0) : \cos x = $ : $\displaystyle 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^p\frac{x^{2p}}{2p}+o(x^{2p}$

$dl_n(0) : \dfrac{1}{1+x} = $ : $\displaystyle  1-x+x^2+\cdots+(-1)^nx^n+o(x^n)$

$dl_n(0) : (1+x)^\alpha = $ : $\displaystyle 1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$

$dl_n(0) : \ln(1+x) = $: $\displaystyle x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+ \cdots+(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$

Dl à retrouver

[$\tan$ :  et on utilise le quotient $\tan x =\dfrac{\sin x}{\cos x}$, on obtient  $\tan x = x+\displaystyle\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^5)$.

$\arctan$ : s'obtient en intégrant les dl de sa dérivée $x\mapsto\dfrac{1}{1+x^2}$, on obtient  $arctan x = x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+o(x^5)$.

Applications

pour une fonction de   classe $\mathscr C^2$ au voisinage de $x$, $f'(x)\approx \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ (erreur en $A.h$);

pour une fonction de classe $\mathscr C^3$,$f'(x)\approx \dfrac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$ (erreur en $A.h^2$).

Pour calculer un $dl_n(a)$ avec $a\neq 0$, on pose $x=a+h$ et quand $x\to a$, $h\to 0$.

 Limites, continuité en un point : $f(a+h)\underset{0}{=} \alpha +o(1) \Leftrightarrow \displaystyle \lim_a f=\alpha$

Tangente en un point : $f(a+h)\underset{0}{=} \alpha +\beta.h+o(h) \Leftrightarrow \displaystyle \Delta : y=\alpha+\beta(x-a)$ tangente en $M(a,\alpha)$

Recherche d'asymptotes oblique. Poser $h=\dfrac{1}{x}\underset{x\to\infty}{\longrightarrow0}$ : $\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=g(h)\underset{h\to0}{=}a_0+a_1h+o(h)\Rightarrow f(x)\underset{x\to\infty}{=}a_0x+a_1+o(1)\Leftrightarrow \displaystyle \Delta : y=a_0x+a_1$ asymptote.

Pour la tangente comme pour l'asymptote, un développement à un ordre supérieur  peut donner la positon relative au voisinage du point (ou de l'infini) des courbes en donnant un équivalent de $f(x)-(\alpha +\beta.(x-a))$ en $a$ ou $f(x)-(a_0x+a_1)$ à $\pm\infty$.

 

Fichier Joint: 

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