Ensembles

Définition

Un ensemble est une collection d'objets appelés éléments de l'ensemble.

Si $x$ est un élément d'un ensemble $E$, on note $x\in E$, sinon $x\notin E$

Un ensemble qui n'a pas d'élément s'appelle ensemble vide et est noté $\emptyset$

 un ensemble est parfaitement défini dès que l'on peut dire quels sont ces éléments. Cela peut se faire

  • sous forme de liste : définition par extension, $E=\{1,2,3,4,5\}$ ;
  • en donnant une propriété des éléments : définition par compréhension, $E=\{x\in N,\ 1\leq x\leq 5\}$.

Soit $\Omega$ l'ensemble de référence, c'est à dire que l'on travaille avec les éléments de cet ensemble.

$E$ et $F$ deux ensembles. $E\subset F$ ($E$ est inclus dans $F$,  si tout élément de $E$ est un élément de $F$ : $E\subset F \Longleftrightarrow \forall x\in\Omega, x\in E\Longrightarrow x\in F$.
$E=F$ s'ils ont les mêmes éléments :   $E=F\Longleftrightarrow \{\forall x\in\Omega, x\in E\Longleftrightarrow x\in F\}$.

Union ; intersection

  • la réunion de $E$ et $F$, notée $E\cup F$, est l'ensemble des objets qui sont éléments de $E$ ou de $F$ :
  • $E\cup F = \{x\in \Omega / \; x\in E \; \texttt{ou} \; x \in F\}$ ou encore $x\in E\cup F\Longleftrightarrow x\in A$ ou $x\in B$.
  • l'intersection de $E$ et $f$, notée $e\cap F$, est l'ensemble des objets qui sont à la fois éléments de $E$ et de $F$ : $x\in E\cap F \Longleftrightarrow x\in A$ et $x\in B$ ou encore $A\cap B = \{x\in E / \; x\in A \; \texttt{et} \; x \in B\}$;
  • le compl\'ementaire de $E$, noté $\overline{E}$ est l'ensemble des éléments de $\Omega$ qui n'appartiennent pas à $E$ : $x\in \overline{E}\Longleftrightarrow x\notin E$.

Ces propriétés se généralisent aisément à un nombre quelconque de sous-ensembles. :

Pour toutes parties $A_1,\ldots, A_n,B_1,\ldots, B_n$ d'un ensemble $E$, on a :

  •  $\displaystyle A \cap \left (\bigcup_{i=1}^n B_i\right ) = \bigcup_{i=1}^n \left ( A \cap B_i\right )  \qquad  \qquad    A \cup  \left (\bigcap_{i=1}^n B_i\right ) = \bigcap_{i=1}^n \left (A \cup B_i\right )\qquad $
  •  $ \displaystyle \overline{\bigcup_{i=1}^n A_i}= \bigcap_{i=1}^n \overline{A_i}\;  \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \; \overline{\bigcap_{i=1}^n A_i}= \bigcup_{i=1}^n \overline{A_i}$

Partition d'un ensemble

Soit $E$ un ensemble. Une partition $\{E_1,E_2,\ldots , E_p\}$, $p\geq 1$, de $E$ vérifie  les trois conditions suivantes:

  •  Tous les $E_i$ pour ${i}$ variant de 1 à $p$ sont des parties non vides de $E$.
  • Les $E_i$ sont 2 à 2 disjoints, c'est à dire : $\forall (i,j) \in N^2, 1\leq i\leq p, 1\leq j\leq p,$, $E_i \cap E_j = \varnothing$.
  • La réunion de tous les $E_i$ est égale à $E$ : $\displaystyle{\bigcup_{{i}=1}^p} E_i = E$.

$p$-uplet (ou $p$-liste)

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Le produit cart\'esien de $E$ et $F$, noté $E\times F$, est l'ensemble des couples $(x,y)$, où $x\in E$ et $y\in F$ :

  •  E $\times$ F = $\{(x,y) , x \in E \;$ et $y \in F\}$.

Pour $n$ ensembles

  • $E_1 \times ... \times E_k=(E_1 \times \cdots \times E_{k-1})\times E_k$.

 

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