Fonction de deux variables

Définitions

fonction numérique de deux variables

On appelle fonction numérique de deux variables toute application $f$ d'une partie $D\subset  R^2$ et à valeurs dans $ R$.

$$f\begin{array}{clc} R^2&\to & R,\\(x,y)&\mapsto z.\end{array}\text{ et }z=f(x,y)$$

L'ensemble de définition d'une fonction de $ R^2$ dans $ R$ est l'ensemble de tous les couples $(x,y)$ de $ R^2$ pour lesquels on peut déterminer une image par $f$, il peut être représenté par une portion du plan.

Soit $f$ une fonction de $2$ variables définie sur un domaine $D$, et soit $a=(x_0,y_0)$ un point de $D$, on peut définir en $a$ $2$ fonctions  partielles de $f$ (qui sont des fonctions d'une variable) :

$$f_{\bullet,y_0}\;  : \; \left \{ \begin{array}{lll}  R&\longrightarrow & R \\x&\longmapsto&f(x,y_0) \end{array} \right . \quad\text{et}\quad f_{x_0,\bullet}\;  : \; \left \{ \begin{array}{lll}  R&\longrightarrow & R \\y&\longmapsto&f(x_0,y) \end{array} \right . $$

On appelle surface représentative de $f$ l'ensemble des points $\{(x,y,f(x,y))/(x,y)\in D\}$, $D$  est l'ensemble de définition de la fonction $f$.

On appelle courbe ou ligne  de niveau $\lambda$ les éléments de $D$ tels que $f(x,y)=\lambda$.

Limite, continuité

Un pavé ouvert de $ R^2$ est un sous-ensemble $P$ de $ R^2$ de la forme $P=]a,b[\times ]c,d[$ où $a,\, b,\, c,\, d$  sont 4 réels tels que $a<b$ et $c<d$.

On dira qu'un couple $(x,y)$ tend vers 0 si la distance $\displaystyle\sqrt{x^2+y^2}$ tend vers  0.

Soit $f$ une fonction définie sur $P$ un pavé ouvert de $ R^2$ à valeurs réelles. Elle est continue sur $P$ si pour tout élément $\displaystyle (a,b)\in P, \;

\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,y)=f(a,b)$.

Théorème : Toutes les fonctions polynomiales, rationnelles, ou composées des fonctions usuelles (exponentielle, logarithme, \dots) sont continues sur

leur ensemble de définition.

Fonction de classe $\mathscr C^1$ sur un pavé ouvert

Soit $f$ une fonction définie sur un pavé ouvert $P$ de $ R^2$. On dit que $f$ est de classe $\mathscr C ^1$ sur $P$ si les dérivées partielles premières de $f$ sont définies et continues en tout point de $P$.

Soit $f$ une fonction de classe $\mathscr C ^1$ sur un pavé ouvert $P$, et soit $A(a,b)$ un point de $P$. Le gradient de $f$ au point $A$ est le vecteur défini par $\overrightarrow{\text{grad}}f(A)=\left (\dfrac{\partial f}{\partial x}(a,b), \, \dfrac{\partial f}{\partial y}(a,b)\right )$.

Remarque : Le gradient de $f$ au point $A$ s'écrit également $\nabla f(A)$.

Variation élémentaire au voisinage d'un point.

Théorème : Pour de petites variations, on a  $\Delta f  =f(a+\Delta x,b+\Delta y)-f(a,b)\approx\dfrac{\partial f}{\partial x}(a,b)\Delta x+\dfrac{\partial f}{\partial y}(a,b)\Delta y$ c'est-à-dire que $f(x,y)-f(a,b)-\Big (h \,  \dfrac{\partial f}{\partial x}(a,b)+ k \, \dfrac{\partial f}{\partial y}(a,b) \Big )=o(\sqrt{h^2+k^2})$ lorsque $h$ et $k$ tendent vers $0$.

Soit $f$ une fonction définie sur un pavé ouvert dont le gradient au point $A(a,b)$ est non nul. Le plan passant par $A$ et orthogonal à $\Big (\dfrac{\partial f}{\partial x}(a,b), \, \dfrac{\partial f}{\partial y}(a,b),-1\Big )$ est le  plan tangent  à la surface représentative de $f$ au point de coordonnées $\big (A,f(A)\big )$.

Dérivation des fonctions composées

Théorème : Soient $x$ et $y$ deux fonctions d'une variable définies et dérivables sur un intervalle de $I\subset  R$ et $f$ une fonction de deux variables, de classe ${\mathscr C}^1$ sur $x(I)\times y(I)$, telle que $f\Big (x(t),y(t)\Big )$ soit défini sur $I$. Alors la fonction $F$ définie par $t\longmapsto f\Big ( x(t),y(t)\Big )$ est dérivable sur $I$ et l'on a:

$$\forall a\in I,\; F'(a)=x'(a)\times \dfrac{\partial f}{\partial x}\Big ((x(a),y(a)\Big )+y'(a)\times \dfrac{\partial f}{\partial y}\Big ((x(a),y(a)\Big )$$

Théorème de Schwarz

Soit $f$ définie sur un pavé ouvert $P$ ; $f$  est de classe ${\mathscr C}^2$ si toutes ses dérivées partielles d'ordre 2 sont définies et continues sur $P$.

Théorème : Soit $f$ une fonction de classe $\mathscr C ^2$ sur un pavé ouvert $P$, on a: $\forall (a,b)\in P, \; \dfrac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x}(a,b)=\dfrac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}(a,b)$.

 

 

 

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