Fonction racine carrée

L'application $x\mapsto x^2$ est une bijection $\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ dont la réciproque est notée $x\mapsto \sqrt{x}$.

Cette fonction s'appelle la fonction racine carrée.


Puissances entières d'un nombre réel

$  \begin{array}{lll}
    \forall a \in  R^*,\ a^{-1}=\displaystyle\frac{1}{a}&\dfrac{1}{\frac{1}{a}}=a \qquad & \frac{1}{\dfrac{a}{b}}=\frac{b}{a} \\
    \forall n \in N, \forall a\in  R^*, a^{-n} =\frac{1}{a^n}\\
    \forall p\in  N,\forall q \in N,\forall a\in  R^*,\ a^pa^q=a^{p+q}&\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}&\left(a^p\right)^q=a^{pq}\\
    \forall n\in N,\ \forall a\in R^*,\ \forall b \in  R^*,\ a^nb^n=(ab)^n&\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n
  \end{array}
$


Propriétés algébriques de la racine carrée

La fonction racine carrée vérifie les mêmes propriétés  pour tous nombres réels positifs $x$ et $y$, d'où la notation $\sqrt{x}=x^{1/2}$ :

  • $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$  (uniquement pour $x\in R_+^*$).
  • $\sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \times \sqrt{y}$ (uniquement pour $(x,y)\in R_+^2$).
  • $\sqrt{\dfrac{x}{y}} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ (sous la condition $y > 0$)
  •  $\forall x\in R,\ \sqrt{x^2}=|x|\quad;\quad \forall x\in R_+,\ (\sqrt{x})^2=x$.

La fonction est dérivable sur $ R_+^*$,  $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} $

 

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