Fonctions puissance

Fonctions Puissance entière

Pour $n\in N^*$,$f_n : x\mapsto x^n=\underset{n \textrm{ fois}}{\underbrace{x\times x\times\dots\times x}}$,

$f_n : x\mapsto x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}$ est définie  et dérivable sur $ R^*$

$f_n$ est définie  et dérivable sur $ R$, $f'_n(x)= nx^{n-1}$

$f_n$  est définie  et dérivable sur $ R^*$, $f'_n(x)=-\dfrac{n}{x^{n+1}}$.

Par convention, pour tout réel $x$, $x^0=1$.

Ce sont des fonctions qui sont de même parité que $n$.

Fonctions Puissance $x\in R_+^* \mapsto x^{\alpha}, \alpha\in R\setminus Z$

Soit $\alpha$ un réel. On définit sur $ R_{+}^*$ la fonction puissance d'exposant $\alpha$ en posant : $\forall x>0,\ x^{\alpha}=exp(\alpha\ln x)$

Si $\alpha$ est non nul, $f: x\mapsto x^{\alpha}$  est dérivable sur $R_{+}^*$ et $\forall x>0,\ f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}.$

Propriétés algébriques :

Soient $x$ et $y$ deux réels strictement positifs, et $\alpha$ et $\beta$ deux réels.

$\ln(x^{\alpha})=\alpha\ln x $ ; $(xy)^{\alpha}=x^{\alpha}y^{\alpha}$

 $x^{\alpha}x^{\beta}=x^{\alpha+\beta}$ ;  $\left(\dfrac 1x\right)^{\alpha}=x^{-\alpha}$

 $\left(x^{\alpha}\right)^\beta=x^{\alpha\beta}$ ;  $\left(\dfrac xy\right)^{\alpha}=\dfrac{x^{\alpha}}{y^{\alpha}}$

Généralisation

$u$ et $v$ étant deux fonctions numériques, on définit $u^v$ par $u^v =e^{v\ln u}$.