Intégration II

Calcul Intégral

Définition :  Soit $f$ définie et continue sur  $I$, intervalle de $ R$, $(a,b)\in I^2$,     on appelle   intégrale  de $a$ à $b$ de $f$  le réel $\displaystyle\int_a^b f(t)\ dt=\big[F(t)\big]_a^b=F(b)-F(a).$

Théorème Intégration par parties : Si $u$ et $v$ sont deux fonctions de classe $C^1$ sur un intervalle $I$ alors $\displaystyle\forall (a,b)\in I^2, \int_a^b u'(t)v(t) \ dt =\Big[u(t)v(t)\Big]_a^b -\int_a^b u(t)v'(t) \ dt $

Théorème de changement de variable :Soit $\varphi\in C^1(I),\ I$ intervalle, $(\alpha,\ \beta)\in I^2$, $f$ continue sur $J$, intervalle, $J\subset\varphi(I)$, alors $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t))\varphi'(t)\ dt= \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(u)\ du $

Propriétés des intégrales

$f$, $g$, fonctions intégrables sur $I$, intervalle de $ R$ contenant $a,\ b,\ c$.

  • Linéarité : $\displaystyle( \lambda,\mu)\in R^2,\ \int_a^b (\lambda f(t)+\mu g(t))\ dt=\lambda \int_a^b f(t)\ dt+\mu  \int_a^b g(t)\ dt  $.
  • Relation de Chasles :  $\displaystyle  \int_a^b f(t)\ dt+\int_b^c f(t)\ dt=\int_a^c f(t)\ dt$.
  • Croissance de l'intégration  : seulement si a<b
    • si $f$ est une fonction continue et $f\geq 0$ sur $[a,b]$,  alors $\displaystyle\int_a^b f(t)\ dt \geq 0\quad \left(\textrm{de plus }\displaystyle\int_a^b f(t)\ dt = 0\Leftrightarrow \forall x\in[a,b], f(x)=0\right)$
    • Si  $f\leq g$ sur $[a,b]$  alors $\displaystyle \int_a^b f(t)\ dt \leq \int_a^b g(t)\ dt$
  • égalité de la moyenne : Si $f$ une fonction continue sur $[a,b]$, $\exists c\in[a,b],\ \displaystyle\frac{1}{b-a }\int_a^b f(t)\ dt=f(c)$.

Le réel $\displaystyle\frac{1}{b-a }\int_a^b f(t)\ dt$ s'appelle valeur moyenne de la fonction $f$ sur le segment $[a,b ]$.

  • Sommes de Riemann : Si $f$ une fonction continue sur $[a,b]$, alors $\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^nf\left(\frac{k}{n}\right)= \int_0^1 f(t)\ dt$.

 

Extensions

Définition : Si $f$ est prolongeable par continuité sur $[a,b]$, $\tilde{f}$, son prolongement alors   $\displaystyle\int_a^b f(t)\ dt\overset{def}{=} \int_a^b \tilde{f}(t)\ dt$.

Définition : On dit que $f$ est  continue par morceaux  sur $[a,b]$ si il existe un nombre fini de points $(x_i)_{i\in[[0,n]]l}, a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b$, tels que les restrictions de $f$ à $]x_i,x_{i+1}[$ soient prolongeables par continuité sur $[x_i,x_{i+1}]$.

Définition : Si $f$ est continue par morceaux sur $[a,b]$, $\displaystyle\int_a^b f(t)\ dt\overset{def}{=} \sum_{i=0}^{n-1}\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(t)\ dt\qquad$(Chasles).

Résolution $(E) : y'+a(x)y=b(x)$

 où $a$ et $b$ sont des fonctions continues

  • Les solutions de $(H) : y'+a(x)y=0$ (équation homogène associée) sur $I$ sont les fonctions de la forme  $y_H=Ce^{-A(x)}$ où $A$ est une primitive de $a$ et $C\in R$.
  • On cherche ensuite une solution particulière $y_0$ de $(E)$ sous la forme   $y_0(x)=C(x)e^{-A(x)}$.
  • L'ensemble des solutions de $(E)$ est $S_E=\{y_0+y_H,y_H$ solution de $(H)\}$

Résolution  de $(E) : ay"+by'+cy=f(x)$

 où $a,b,c$ sont des réels et $f$ une fonction continue sur $I$, intervalle de $ R$.

$(H) : ay''+by'+cy=0$, l'équation homogène associée,

$(E_c) : ar^2+br+c=0$, l'équation caractéristique associée à $(H)$.

  Solutions de $E_c : (r_1,r_2)\in R^2,r_1\neq r_2$, alors les solutions de $(H)$ sont $f:x\mapsto \lambda_1 e^{r_1 x}+\lambda_2e^{r_2 x}$

  Solutions de $E_c : r_0\in R$, alors les solutions de $(H)$ sont  $f:x\mapsto(\lambda x+\mu) e^{r_0 x}$

  Solutions de $E_c : r=\alpha\pm \beta i\in C$, alors les solutions de $(H)$ sont $f:x\mapsto e^{\alpha x}(A\cos \beta x+B\sin\beta x),\ (A,B)\in R^2$

 Lorsque $f$  est de la forme $t\mapsto P(t)e^{mt}$ alors on cherche une solution particulière  du type $t\mapsto Q(t)e^{mt}$, $Q$ étant un polynôme dont on indiquera le degré.

Lorsque $f$ est de la forme $t\mapsto \sin(\omega t)$  ou $t\mapsto \cos(\omega t)$, il existe une solution particulière du type

  • $t\mapsto A\sin(\omega t) + B\cos(\omega t)$ si $i\omega$ n'est pas solution de $(E_c)$,
  • $t\mapsto t(A\sin(\omega t) + B\cos(\omega t))$ si $i\omega$ est solution de $(E_c)$,

$A$ et $B$ étant à déterminer.

 L'ensemble des solutions de $(E)$ est $S_E=\{y_0+y_H,y_H$ solution de $(H)\}$.

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