Les suites

représentation des suites

Une suite $(u_n)$, ou du moins les premiers termes peut être représentée de deux manières différentes :

  • [par deux variables :] U contient la valeur courante de un, et n contient l'indice correspondant n.

 Remarque :  dans certaines suites, on a besoin de connaître deux ou  trois termes ($u_n$ mais aussi $u_{n-1}$, $u_{n-2} $...), il suffit alors de réserver des variables pour cela : U1 pour $u_{n-1}$, U2 pour $u_{n-2} $ ...

  • [par une liste : ]U contenant les premiers termes de la suite.

 Remarque : dans ces conditions, l'indice de la liste correspond à l'indice de la suite.

La première représentation est économe en mémoire, plus facile à manipuler lorsque l'on ne sait pas combien de termes on doit calculer, la deuxième est plus proche de l'écriture mathématique et donc souvent plus simple à programmer.

Les problèmes

  • Calculer le n-ème terme, ou les n premiers termes : cela correspond à FOR
  • Calculer le premier terme (et donner son indice) vérifiant une condition donnée : cela correspond à WHILE

     Si $\lim u=+\infty$, on peut demander le premier indice tel que $u_n>A$ où A est un réel donné.

     Si $\lim u=\ell$, on peut demander le premier indice tel que $|u_n -\ell|<$tol où tol est un réel donné (tol=erreur tolérée)

     Si $u$ converge mais que l'on ne connaisse pas la limite, on cherchera le premier indice tel que $|u_{n-1}|<tol$. Notez que rien ne garantit que l'erreur entre la valeur de $u_n$ et celle de la limite soit bien inférieure à tol.

  • Tracer graphiquement les premiers termes :

 on trace la courbe passant par les points (n,$u_n$) - l'utilisation de la représentation par liste est alors obligatoire (module matplotlib.pyplot)

 Pour les suites $u_{n+1}=f(u_n)$, on trace le fameux escalier

Exercices

  • Exercice :  Récurrence d'ordre 1. Calculer le n-ème terme de la suite u définie par $u_0$ donnée et la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ où f est une fonction donnée.

  • Exercice : Suites croisés  Soit  $x_0$ et  $y_0$  deux réels strictement supérieurs à 1 et les suites  x et y   définies par :

$\forall n\in N,\dfrac{x_n+\sqrt{y_n}}{2}$ et $y_{n+1}=\dfrac{y_n+\sqrt{x_n}}2$

Étudier le comportement  de ces deux suites en affichant n valeurs en parallèle. La fonction aura en données $x_0,y_0$ et n.

  • Exercice : Suite d'ordre 2.

Soit ($u_n$) la suite définie par : $u_0 = 0 , u_1 = 1,\forall n\in N, u_{n+2} = u_{n+1} + \sqrt{u_n}$

Nous cherchons à déterminer à partir de quel rang n, on a $u_n > 10^4$. Écrire une fonction dépasse qui prend en donnée un réel A et renvoie le rang n tel que $u_n>A$, puis faire l'appel correspondant à la question posée.

  • Exercice : Somme

Soit la suite u déterminée par  $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{( -1) ^{k-1}}{2k-1}$

  1. Afficher les n premiers termes de la suite u. La fonction ne renvoie aucune valeur.
  2. On montre que cette suite converge. Écrire une fonction pour pour avoir la valeur de la limite à $10^{-3}$ près.

Remarque :   Une somme se définit par récurrence posant $S_0$=0 ou $S_0=u_0$ puis $S_n=S_{n-1}+u_n$ pour $n\geq 1$.

  • Exercice : Produit.

Écrire une fonction Fact qui calcule n!.

Remarque :  Un produit se définit par récurrence posant $P_0=1$ ou $P_0=u_0$ puis $P_n=P_{n-1}\times u_n$ pour $n\geq 1$.

  • Exercice :  On a obtenu les premiers termes d'une suite sous forme de liste U, écrire une fonction qui trace la représentation graphique de la suite.

  • Exercice :  Difficile

Soit une suite u définie par u_0 donnée et la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ où f est une fonction donnée.

Écrire une fonction qui trace les N premiers termes (sous forme d'escalier), le graphe de la fonction f étant tracé entre a et b

Indication : plot([x0,x1],[y0,y1]) trace la droite passant par M(x0,y0) et N(x1,y1) d'après la définition de plot !

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