N - raisonnement par récurrence

Principe de récurrence

Soit $\mathcal{H}_{n}$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$.

S'il existe un entier $n_0\in N$ tel que : $\left\{\begin{array}{l}\mathcal{H}_{n_0} \texttt{  est vraie}, \\  \texttt{pour tout entier  }n\geq n_0,\ \texttt{  l'implication } \mathcal{H}_{n}\Longrightarrow \mathcal{H}_{n+1}  \texttt{ est vraie, },   \end{array} \right. $

 alors pour tout entier $n\geq n_0$, $\mathcal{H}_{n}$ est vraie.

Rédaction

  • Enoncé : Pour tout $n\geq n_0$, soit $\mathcal{H}_{n}$ :  ...
  • Initialisation : On vérifie que la propriété $\mathcal{H}_{n_0}$ est vraie.
  • Hérédité : Je suppose que pour une valeur de $n\geq n_0$, $\mathcal{H}_{n}$  est vrai et je démontre alors que  $\mathcal{H}_{n+1}$  est vrai.
  • Conclusion  : Par principe de récurrence,  pour tout   $n\geq n_0$, $\mathcal{H}_{n}$  est vraie.
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