Polynômes

$K$ désigne $R$ ou $C$. Les éléments de $K$ sont appelés scalaires.

L'ensemble $ K[X]$

Une fonction $P: K\rightarrow  K$ est  un polynôme à coefficients dans $ K$ s'il existe un entier naturel $n$ et $n+1$ éléments de $ K$ $(a_0,a_1\dots a_n)$ tels que :

\qquad $\displaystyle \forall x\in K,\ P(x)=a_0+a_1x+\cdots a_nx^n=\sum_{k=0}^na_kx^k$.

l'élément $a_i$ s'appelle coefficient d'indice $i$ du polynôme $P$

le polynôme nul est la fonction nulle,

un polynôme constant est un polynôme où le seul coefficient non nul est $a_0$

on appelle monôme tout polynôme n'ayant qu'un seul coefficient non nul.

l'ensemble des polynômes à coefficients dans $ K$ est noté $ K[X]$.

L'application identité de $K$ dans $K$ est noté $X$ : $\displaystyle\begin{cases}K  \overset{X}{\longrightarrow}  K\\    x  \mapsto  X(x)=x\end{cases}$

 l'application $X^n=X\circ X\circ \cdots X$ est l'application $ K\to K$ : $x\mapsto X^n(x)=x^n$,

$\displaystyle  P=P(X)=\sum_{k=0}^n a_k X^k$ où $P$ est le polynôme qui à $x\in K$ associe $\displaystyle P(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k$.

Théotèmre (Unicité) : Deux polynômes de $ K[X]$ sont égaux si et seulement ils ont les mêmes coefficients.

On appelle  degré d'un polynôme non nul $P$ le plus grand entier $p$ tel que $a_p\neq 0$.

 Le terme $a_nX^n$ est lemonôme dominant et $a_n\neq 0$ est le coefficient dominant si $\deg(P)=n$.

Remarque : $K_n[X]$ l'ensemble formé par les polynômes de degré inférieur à $n$ et du polynôme nul.

Opérations sur les polynômes

$P$ et $Q$ deux polynômes de $ K[X]$, $\lambda$ un scalaire,

• Addition.  $P+Q$ : $\forall x\in K,\ (P+Q)(x)=P(x)+Q(x)$ ; $\deg(P+Q)\leq \max(\deg(P),\deg(Q)).$
• Multiplication par un scalaire. $\lambda P$ : $\forall x\in K,\ (\lambda P)(x)=\lambda P(x)$ ; $\deg(\lambda P)=\deg(P)$ si $\lambda\neq0$.
• Multiplication. $P\times Q$ : $\forall x\in K,\ (P\times Q)(x)=P(x)\times Q(x)$ ; $\deg(P\times Q)=\deg(P)+\deg(Q).$
• Composée.  $P\circ Q$ : $\forall x\in K,\ (P\circ Q)(x)=P\left[Q(x)\right]$;$\deg(P\circ Q)=\deg(P)\times \deg(Q)$
• Dérivée : $P'$ : si $P=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_kX^k$ alors $P'=\begin{cases}\displaystyle\sum_{k=1}^n ka_kX^{k-1}&\texttt{si }\deg(P)\geq1 \\0&\texttt{sinon}\end{cases}$ ; $\begin{array}{l};\quad\deg(P')=\deg(P)-1\\ ~\end{array}$

Factorisation

 $A$ et $B$ deux polynômes,  $A$ est  factorisable par $B$  si et seulement si il existe un polynôme $Q$ tel que $A=BQ$

On dit que l'élément $\alpha\in K$ est racine  du polynôme $P$ si $P(\alpha)=0$

Théorème :  $\alpha$ est racine de $P$ si  et seulement si $(X-\alpha)$ est un diviseur de $P$.

Théorème :  Soit $p\in N^*$, $\alpha_1$, $\alpha_2\dots\alpha_p$ $p$ racines deux à deux distincts du polynôme $P$ alors $(X-\alpha_1)\dots(X-\alpha_p)$ divise $P$.

 $\alpha\in K$ est une racine d'ordre $k$ ($k\in N^*$) de $P$ si  $P(X)=(X-\alpha)^kQ(x)$ avec $Q(\alpha)\neq 0$.

Théorème Un polynôme $P$ est factorisable par $(X - a)^k$ si, et seulement si, on a $P^{(j)}(a) = 0$ pour $0\leq j\leq k-1$.