R

Relation d'ordre dans R

  •  Pour tout couple de réels $(a,b), a\leqslant b \Leftrightarrow 0\leqslant b-a$.
  •  Pour tout couple de réels $(a,b)$ et tout réel $ x> 0, a\leqslant b \Leftrightarrow xa\leq xb$.
  • Pour tout couple de réels $(a,b)$ et tout réel $ x< 0, a\leqslant b \Leftrightarrow xa\geq xb$.
  •  Pour tout couple de réels $(a,b)$ positifs, $a\leqslant b \Leftrightarrow \sqrt{a} \leqslant \sqrt{b} \Leftrightarrow a^2 \leqslant b^2$.
  • $\forall(a,b,c,d)\in R^4, \left.\begin{array}{l}a \leqslant b\\c\leqslant d\end{array}\right\}\Rightarrow a+c\leqslant b+d$
  •  $\phantom{\forall(a,b,c,d)\in R^4, \left.\begin{array}{l}a \leqslant b\\c\leqslant d\end{array}\right\}}\Rightarrow a-d\leqslant b-c$
  • $\forall(a,b,c,d){\in R^*_+}^4, \left.\begin{array}{l}a \leqslant b\\c\leqslant d\end{array}\right\}\Rightarrow ac\leqslant bd$
  •  $\phantom{\forall(a,b,c,d){\in R^*_+}^4, \left.\begin{array}{l}a \leqslant b\\c\leqslant d\end{array}\right\}}\Rightarrow\dfrac{a}{d} \leqslant \dfrac{b}{c}.$

Intervalles

Un intervalle I est une partie de R qui vérifie la propriété suivante: pour tous réels $a$ et $b$ appartenant à I  tels que $a\leqslant b$, on a  $a\leqslant x\leqslant b \Longrightarrow x\in I$.

$a, \, b$ éléments de $R\cup\{+\infty,-\infty\},a\leqslant b$, les intervalles de R sont  : $[a,b];]a,b];[a,b[;]a,b[$.

Majorants, minorants

Majorant : On appelle majorant (resp. minorant) d'une partie A de R tout réel M vérifiant : $\forall x\in A, x \leq M$.

Maximum : M est le maximum (resp. minimum) de A  si M est un majorant de A et M est un élément de A : $M \in A$ et $ \forall x\in A, x \leq M$ [M=max(A)].

Borne Sup : M est LA borne sup de A si M est le plus petit des majorants de A  [M = sup(A)].

Théorème de la borne supérieure :   Tout sous-ensemble non vide et majoré  de R admet une borne supérieure.

 

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