Somme - Produit

Les résultats sont valables sur $C$ et sur $R$.

Symboles somme et produit

Soient $p$ et $n$ des entiers naturels tels que $0\leqslant p\leqslant n$. Soient $x_p$, $x_{p+1}$,..., $x_n$, $n-p+1$ scalaires. Alors  on note

$\displaystyle \sum_{k=p}^{n}x_k=x_p+x_{p+1}+...+x_n$ ; $\displaystyle \prod_{k=p}^{n}x_k=x_p\times x_{p+1}\times\dots\times x_n.$

Remarques :  Si l'ensemble des indices est vide, la somme est nulle, le produit vaut 1.

$\phantom{Remarques : }$$x_p+x_{p+1}+\cdots +x_n$ (resp. $x_{p+1}\times\dots\times x_n$) est l'écriture en extension de la somme (resp. produit).

Règles de calcul pour les sommes et produits

Soient $p$ et $n$ des entiers naturels tels que $0\leqslant p\leqslant n$. Soient $x_p$, $x_{p+1}$,\dots, $x_n$, $y_p$, $y_{p+1}$,..., $y_n$ des scalaires.

$\displaystyle\sum_{k=p}^{n}(x_k+y_k)= \sum_{k=p}^{n} x_k+\sum_{k=p}^{n} y_k\ ;\ \sum_{k=p}^{n}(\lambda x_k)=\lambda \sum_{k=p}^{n}x_k$

Si  $ p\leqslant i <n,\displaystyle\sum_{k=p}^{i}x_k+\sum_{k=i+1}^{n}x_k=\sum_{k=p}^{n}x_k.$

$\displaystyle\prod_{k=p}^{n}(x_k+y_k)= \prod_{k=p}^{n} x_k\times \prod_{k=p}^{n} y_k\ ;\  \prod_{k=p}^{n}(\lambda x_k)=\lambda^{n-p+1} \prod_{k=p}^{n}x_k$; Si  $\displaystyle p\leqslant i <n,\   \prod_{k=p}^{i}x_k\times\prod_{k=i+1}^{n}x_k=\prod_{k=p}^{n}x_k.$

Quelques sommes à connaître

$\displaystyle\forall n\in N,\  \sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$    

$\displaystyle\sum_{k=0}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$   

$\displaystyle\sum_{k=0}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}\ ;$

$ \forall a\in R($ ou $C), p\in N,\ m\in N,\ p\geq m,\ \displaystyle\sum_{k=m}^p a = (p-m+1)a\ ;\ \prod_{k=m}^p a = a^{p-m+1}.$

Si $\displaystyle q\neq 1,\ q\neq 0\ \sum_{k=0}^n q^k =\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\ ;\  \sum_{k=m}^n q^k = \frac{q^{m}-q^{n+1}}{1-q}$ ;   si $q= 1,\ \displaystyle\sum_{k=0}^n q^k= n+1 $.

 $\forall  n\in N^*,\forall a,b$ scalaires, $ a^n-b^n =(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1}\right) = (a-b) \sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k. $

Factorielles

Soit $n\in N$, on appelle factorielle $n$ et on note $n!$ l'entier défini par :  0!=1 et pour $\displaystyle n\geq1,\ n=\prod_{k=1}^n k$.

 $\forall n\in N^*,\ n!=n\times $\forall n\in\N^* n!=n(n-1)\times(n-2)!$ ; $\forall n\in N^*, p\in N,0\leq p\leq n, n\times(n-1)\dots (n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}$.

Sommes doubles

$\displaystyle\sum_i\sum_j u_{i,j}=\sum_i\left(\sum_j u_{i,j}\right)=\sum_j\left(\sum_i u_{i,j}\right)$

Comme toute somme, on peut intervertir l'ordre des indices mais attention aux bornes

$\displaystyle\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^p u_{i,j} =\sum_{j=0}^p \sum_{i=0}^n  u_{i,j}$ (les bornes de $i$ et $j$ ne dépendent pas de $i$ et $j$).

$\displaystyle\sum_{j=0}^n \sum_{i=j}^n  u_{i,j} = \sum_{0\leq j\leq i\leq n}u_{i,j} =\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i u_{i,j}$  (on doit toujours avoir $j\leq i$).

Coefficients binomiaux

Soient $p$ et $n$ deux entiers naturels, si $0\leqslant p \leqslant n$, $\displaystyle {n\choose p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$, sinon  $\displaystyle{n\choose p}=0$.

•  si $0\leqslant n$, $\displaystyle {n\choose 0}=1$, si $1\leqslant n$, $\displaystyle {n\choose 1}=n$.
• $\forall n\in N, \forall p\in \{0,1,...,n\}, \displaystyle{n\choose p}={n\choose n-p}$.
• $\forall n\in N^*, \forall p\in \{1,...,n\}, \displaystyle\binom{n}{p}=\dfrac{n}{p}\binom{n-1}{p-1}$
•  $\forall (n,p)\in N^2, \displaystyle{n\choose p}+{n\choose p+1}={n+1\choose p+1}$ (Pascal).

Formule du binôme de Newton

 $\displaystyle\forall (a,b)\in C^2, \forall n\in  N,   (a+b)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}a^k b^{n-k}.$

Remarque : Si on pose $a=1, b=x$, on obtient $\displaystyle\sum_{k=0}^n {n\choose k}x^{k}=(1+x)^n.$