Suite Calcul de limites

Opérations sur les limites et indétermination

$(u_n)_{n}$ et $(v_n)_{n}$ deux suites réelles, $l$ et $l'$ deux réels

  • Limite d'une somme : $ \lim (u_n+v_n)= \lim u_n + \lim v_n $. Indétermination : $\infty-\infty$
  • Limite d'un produit : $\lim (u_n.v_n)= \lim u_n . \lim v_n$. Indétermination : $0\times\infty$
  • Limite d'un quotient : $\lim \dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{\lim u_n}{\lim v_n}$. Indétermination : $\dfrac00,\dfrac{\infty}{\infty}$

Croissances comparées

convergence des suites géométriques :

  • Si $|q|<1$, $q^n\rightarrow 0$;
  • Si $q=1$, $q^n=1\rightarrow 1$ ;
  • Si $q>1$, $q^n\rightarrow +\infty$ ;
  • Si $q\leq -1$, $q^n$ n'admet pas de limite.

Échelle des suites classiques :

$\ln n<< n^\alpha\underset{0<\alpha < \beta}{<<}n^\beta<< a^n\underset{1<a<b}{<<}b^n<< n! << n^n$

Remarque : $u<< v$ signifie $\lim \dfrac{u}{v}=0$.

Application : Polynômes  : $a_pn^p+a_{p-1}n^{p-1}+...+a_1n+a_0 \sim a_pn^p$  si $a_p\neq 0$.

Équivalents

On dit que $(u_n)$ est équivalente à $(v_n)$ si $\lim \dfrac{u_n}{v_n}=1$. On note $u_n\sim v_n$ ou $u\sim v$.

Remarque : $u\sim v \Leftrightarrow \forall n\in N, u_n=v_n(1+\epsilon_n)$ avec $\lim u_n=\epsilon_n=0$ (sous réserve d'existence).

Propriétés des équivalents :

  •     Si la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $\ell\neq 0$, alors $u_n\sim \ell$.
  •     Si $u_n\sim v_n$ et si $\lim v_n=\ell$ (resp. $+\infty$, resp. $-\infty$), alors  $\lim l$ (resp. $+\infty$, resp. $-\infty$).
  •     Aucune suite ne peut être équivalente à 0.
  •     $u_n\sim v_n \Leftrightarrow v_n\sim u_n$
  •     Si $u_n\sim v_n\textrm{ et }v_n\sim w_n\Longrightarrow u_n\sim w_n$.

Équivalents et opérations

  •     Si $u_n\sim v_n$ alors pour tout réel $\lambda \neq 0$, $\lambda u_n\sim \lambda v_n$.
  •     Si $u_n\sim v_n$ et $w_n\sim r_n$ alors $u_nw_n\sim v_nr_n$ et  $\dfrac{u_n}{w_n}\sim \dfrac{v_n}{r_n}$.
  •     Si $u_n\sim v_n$ alors $\forall k\in N$, $(u_n)^k\sim v_n^k$ et même $\alpha \in R, u_n>0, v_n>0, u_n^\alpha \sim v_n^\alpha$.

Par contre, on ne peut pas additionner des équivalents, ni les composer avec des fonctions.

Quelques équivalents à connaître :

Si la suite $(u_n)$ converge vers $0$ et si $u_n\neq 0$ partir d'un certain rang, alors

$\displaystyle\sin(u_n)\underset{u_n\to 0}{\sim} u_n \qquad;\qquad \tan(u_n)\underset{u_n\to 0}{\sim} u_n \qquad;\qquad \cos(u_n)-1\underset{u_n\to 0}{\sim} -\dfrac{(u_n)^2}{2}\qquad;\qquad e^{u_n}-1 \underset{u_n\to 0}{\sim} u_n$

$\displaystyle\ln(1+u_n)  \underset{u_n\to 0}{\sim}u_n  \qquad;\qquad \sqrt{1+u_n}-1  \underset{u_n\to 0}{\sim} \dfrac{1}{2}u_n \qquad;\qquad  (1+u_n)^{\alpha}-1  \underset{u_n\to 0}{\sim} {\alpha}u_n. $

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