Suite u(n+1)=f(u(n))

Premières valeurs

il est possible de visualiser sur un axe gradué la position des termes de la suite en s'aidant de la représentation graphique $(C_f)$ de la fonction $t\mapsto f(t)$ et de celle de $(\Delta)$ de la fonction $t \mapsto t$.

La stratégie utilisée est la suivante : les points $A_n$ portés sur le graphique ont pour coordonnées $(u_n ; f(u_n))=(u_n ; u_{n+1})\ (A_n\in C_f ) $.

 On utilise alors la droite $(\Delta)$  pour reporter le réel $u_{n+1}$ en abscisse.

On peut aussi  programmer le calcul des premières valeurs en Python.

Quelques éléments pour l'étude

  • Intervalle stable
    • Soient un intervalle $I$ et une fonction $f$. On dit que $I$ est un intervalle stable par $f$ lorsque : $f(I)\subset I$
    • Si $I$ est un intervalle stable et si $u_0\in I$ alors $\forall n\in N,\ u_n\in I$ (encadrement de $u$).
  • variations
    • On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n = f(u_n) -u_n = k(u_n)$  sur $I$.
    • Si $f$ croissante sur $I$, alors  la suite $u$ est monotone. La comparaison de $u_1$ et de $u_0$ permet alors de dire si la suite est croissante ou décroissante.
    •  $f$ décroissante entraîne une oscillation de $u$ ; $f\circ f$ est croissante
  • Valeur de la limite - point fixe
    • Soit $f$, fonction définie sur un intervalle $I$, on appelle point fixe de $f$ tout élément $x\in I$ tel que $f(x)=x$
    • Les points fixes fournissent les valeurs potentielles de la limite car si  $f$ continue sur $I$, intervalle et si $u_n\in I$ et $u_n$ tend vers $\ell\in I$, alors $f(\ell) = \ell$
  • existence de la limite
    • Si $f$ est croissante sur $I$, on utilise souvent le théorème de convergence dominée.
    • Si $f$ est décroissante, on travaille sur les suites extraites de rang pair et impair.
    • Si il existe deux réels $\ell$ et $k$ tels que $|u_{n+1}-\ell|\leq k |u_n-\ell|$, alors par récurrence, $|u_n-\ell|\leq k^n|u_0-\ell|$.

 

Fichier Joint: