Suite Variation-Encadrement

Variations

Une suite $(u_n)_{n\in N}$ est dite croissante    (respectivement  décroissante) si     $\forall n\in N,\ u_n\leq u_{n+1}$ ( resp. $u_n\geq u_{n+1}$)

Comment montrer qu'une suite est monotone ?

• On étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$ : $\forall n\in N,\ u_{n+1}-u_n\geq 0 \Leftrightarrow u$ croissante.
• Si la suite $u$ est à termes strictement positifs, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geq 1 \Leftrightarrow u$ croissante.
• Si la suite est donnée sous la forme $u_n=f(n)$, on peut étudier les variations de la fonction $f$ sur $ R_+$ :
• Si la suite est définie par une relation de récurrence, on peut démontrer,  à l'aide d'une récurrence, que $u$ est croissante.

Encadrement

Une suite $(u_n)_{n\in N}$ est dite majorée   (respectivement  minorée) s'il existe un réel $M$ (respectivement $m$) tel que

    $$\forall n\in N,\ u_n\leq M (\text{ respectivement  }u_n\geq m)$$

$M$ est appelé un majorant de la suite (respectivement $m$ est un minorant).

Une suite est  bornée si elle est à la fois majorée  et minorée.

Comment montrer qu'une suite est majorée (minorée ou bornée) ?

• En majorant la suite $u$ par une suite $v$ dont on peut donner un majorant.
• Si la suite est donnée sous la forme $u_n=f(n)$, en cherchant un majorant de $f$ sur $R_+$.
• Par récurrence pour les suites  $u$ définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ et $u_0$.