Suite Variation-Encadrement
Soumis par FERAY M. le mar, 07/07/2015 - 12:55
Variations
Une suite $(u_n)_{n\in N}$ est dite croissante (respectivement décroissante) si $\forall n\in N,\ u_n\leq u_{n+1}$ ( resp. $u_n\geq u_{n+1}$)
Comment montrer qu'une suite est monotone ?
- On étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$ : $\forall n\in N,\ u_{n+1}-u_n\geq 0 \Leftrightarrow u$ croissante.
- Si la suite $u$ est à termes strictement positifs, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geq 1 \Leftrightarrow u$ croissante.
- Si la suite est donnée sous la forme $u_n=f(n)$, on peut étudier les variations de la fonction $f$ sur $ R_+$ :
- Si la suite est définie par une relation de récurrence, on peut démontrer, à l'aide d'une récurrence, que $u$ est croissante.
Encadrement
Une suite $(u_n)_{n\in N}$ est dite majorée (respectivement minorée) s'il existe un réel $M$ (respectivement $m$) tel que
$$\forall n\in N,\ u_n\leq M (\text{ respectivement }u_n\geq m)$$
$M$ est appelé un majorant de la suite (respectivement $m$ est un minorant).
Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Comment montrer qu'une suite est majorée (minorée ou bornée) ?
- En majorant la suite $u$ par une suite $v$ dont on peut donner un majorant.
- Si la suite est donnée sous la forme $u_n=f(n)$, en cherchant un majorant de $f$ sur $R_+$.
- Par récurrence pour les suites $u$ définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ et $u_0$.
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