Suites Classiques

Suites Classiques

  • Suites arithmétiques : pour tout $n\in N,\ u_{n+1}=u_n+r$ $ \Leftrightarrow$ pour tout $n\in N,\ u_n = u_0+nr$.

N.B. : $u_n=u_p+(n-p)r$.

  • Suites géométriques : pour tout $n\in N,\ u_{n+1}=u_{n+1}=q.u_n  \Leftrightarrow$ pour tout $n\in N,\ u_n = u_0 q^n$.

N.B. : $u_n=u_pq^{n-p}$.

  • Suites arithmético-géométriques : $\forall n\in N, \ u_{n+1}=au_n + b \qquad (R)$
    •  Si $a=1$, la suite est arithmétique de raison $b$ et on a   $u_n=u_0+nb$
    • Sinon, on cherche $\ell$ telle que  $\hspace{1cm}\ell = a\ell + b$ et la suite $u_n-\ell$ est une suite géométrique de raison  $a$   :  $u_n=a^n(u_0-\ell)+\ell$
  • Suites définies par une relation de récurrences linéaires d'ordre 2 : $\forall n\in N,\ u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n, \quad b\neq 0$

On appelle $(E)$ l'équation associée $x^2-ax-b=0$ est un trinôme dont le discriminant noté $\Delta = a^2+4b$

  • Si $\Delta >0$, $(E)$ possède deux solutions réelles distinctes $q_1$ et $q_2$ et il existe deux réels $\alpha$ et   $\beta$ tels que  $ \forall n\in N, u_n= \alpha q_1^n +\beta q_2^n$
  • Si $\Delta = 0$, $(E)$ possède une solution unique $q$ et  il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que    $\forall n\in N, u_n= (\alpha n+\beta) q^n$
  • Si $\Delta<0$, $(E)$ possède deux solutions complexes conjuguées $q_1=\rho  e^{i\theta}$ et $q_2=\rho  e^{-i\theta}$  et il existe $\alpha$, $\beta$ réels tels que    $\forall n\in N, u_n= \rho^n(\alpha \cos n\theta   +\beta \sin n\theta) $