Suites Convergence

Définitions

Une suite réelle $(u_n)_{n\in N}$ est dite convergente s'il existe un réel $\ell$ tel que $$\forall \epsilon > 0,\ \exists n_0\in N\ (n\geq n_0\Rightarrow

|u_n-\ell|\leq \epsilon)$$

Une suite réelle $(u_n)_{n\in N}$  a pour limite $+\infty$ ou diverge vers $+\infty$ (respectivement $-\infty$) si

$$\forall A\in R,\ \exists n_0\in N\ (n\geq n_0\Rightarrow u_n\geq A (\text{ resp.} u_n \leq A)$$

Propriétés des suites convergentes

•  Si une suite converge, sa limite est unique
•  Toute suite convergente est bornée
• Si $u$ une suite convergente et si $\exists n_0\in N,\forall n\geq n_0, a \leq \ u_n $ alors $ a\leq \lim u_n $
• Si $u$ une suite convergente et $ a < \lim u_n $,  alors $\exists n_0,\ \forall n\geq n_0, a < \ u_n  $.
• Si $\lim u > 0$, alors $\exists n_0,\ \forall n\geq n_0,\ u_n\geq 0$
• Soient $u$ et $v$ deux suites convergentes vérifiant à partir d'un certain rang $u_n \geq v_n$, on a alors $\lim u_n\geq \lim v_n$
• Toute suite extraite d'une suite convergente converge vers la limite de la suite.
• Si les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite $\ell$ alors la suite $(u_n)$  converge vers $\ell$

Théorèmes de convergence

• Convergence et continuité :

Soient $(u_n)$ une suite convergente de limite $\ell$ et $f$ une fonction de la variable réelle, définie au voisinage de $\ell$ et continue en $\ell$,

alors la suite $f(u_n)$ converge vers $f(\ell)$

Remarque : On peut remplacer la continuité par  des limites éventuellement infinies

• Théorème de convergence par encadrement :

Soient $u,\ v,\ w$ trois suites qui vérifient à partir d'un certain rang les inégalités $u_n\leq v_n\leq w_n$, si $u$ et $w$ convergent vers la même limite $\ell$,

alors la suite $v$ converge également vers $\ell$.

• Théorème de la convergence dominée (ou des suites monotones) :  

Toute suite croissante majorée converge

Corollaire : toute suite croissante converge ou a pour limite +$\infty$

• Suites adjacentes

Deux suites $u$ et $v$ sont adjacentes si $u$ est croissante, $v$ est décroissante et $\lim u-v = 0$

Théorème : Deux suites adjacentes convergent et ont la même limite.