Trigonométrie

$ \cos2x = \cos^2x-\sin^2x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2x $ ; $\sin2x = 2\sin x\cos x $

$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ $  \sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$.
$  \tan 2x  = \frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}$


Fonctions circulaires réciproques

  •  L'équation $\sin x=a$ admet une infinité de solutions réelles, mais une unique solution dans l'intervalle  $\left [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right ]$.

On définit ainsi une fonction de $\left [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right ]$ sur [-1,1] que l'on appelle arcsinus et on note $\arcsin (a)$ la solution précédente.

  • L'équation $\cos x=a$ admet une infinité de solutions réelles, mais une unique solution dans l'intervalle  $\left [0,\pi\right ]$.

On définit ainsi une fonction de $\left [0,\pi\right ]$ sur [-1,1] que l'on appelle arccosinus et on note $\arccos (a)$ la solution précédente.

  • L'équation $\tan x=b$ admet une infinité de solutions réelles, mais une unique solution dans l'intervalle  $\left ]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right [$.

On définit ainsi la fonction  arctangente de  $\left ]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right [$ sur \R  et on note $\arctan(a)$ la solution précédente.

Résolution d'équations trigonométriques

Soit $a$ un paramètre réel, alors

  •  $\cos x=\cos a \Leftrightarrow x=a\ (2\pi)$ ou $x=-a\ (2\pi)$.
  •  $\sin x=\sin a \Leftrightarrow x=a\ (2\pi)$ ou $x=\pi-a\ (2\pi)$.
  •  $\tan x=\tan a \Leftrightarrow x=a\ (\pi)$.

   
 

    

    
   
 

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