Valeur absolue

Définiition

la fonctionvaleur absolue associe à tout réel $x$ le maximum entre $x$ et $-x$.

$$x\in R \mapsto |x|\left\{
               \begin{array}{ll}
                 |x|=x, & \hbox{si $x\geq 0$;} \\
                 |x|=-x, & \hbox{si $x\leq 0$.}
               \end{array}
             \right.$$

Interprétation géométrique :

On considère un axe gradué par la donnée d'un point origine $O$ et d'un vecteur unitaire $\overrightarrow{OI}$, si $x$ l'abscisse d'un point $M$ de cet axe, alors $|x|$  désigne la distance de $M$ à l'origine $O$.

De plus si $y$ désigne l'abscisse d'un point $N$ de cet axe, alors  $|x-y|$  désigne la distance de $M$ à $N$.

Propriétés

  •  $a,x$ étant des réels et $r$ un réel positif : $d(x, a) \le r \Leftrightarrow  |x - a| \le r\Leftrightarrow   a - r \le x \le a + r \Leftrightarrow   x \in [a - r; a + r]$      
  • Pour tout réel $a>0$, $\begin{cases}  |x| = a \Longleftrightarrow x = a \text{ ou }x = -a\\|x| \leq a \Longleftrightarrow -a\leq x\leq a\\    |x| > a \Longleftrightarrow x\geq a \text{ ou }x \leq -a\end{cases}$
  • Pour tous réels $a$ et $b$, et tout entier  $n$
    • $|ab|=|a|.|b|\quad;\quad|a^n|=|a|^n\quad;\quad\left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{|a|}{|b|}(b\neq 0)\quad;\quad\sqrt{a^2}=|a|$.
    • Inégalité du Triangle : $ \big| |a|-|b|\big| \leq|a + b| \leq |a| + |b|$

 

Fichier Joint: 

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