Environnement Pyzo

Langage, distribution, environnement de travail, éditeur.

  • Un langage de programmation est une notation conventionnelle destinée à formuler des algorithmes : Python, Basic, Pascal, Java, C++,  PHP …
  •  Pyzo est une distribution de Python, c'est-à-dire qu’il regroupe le langage Python et des bibliothèques (ou modules) de fonctions supplémentaires (numpy, math, random …) et des éditeurs.
  • Quand vous lancer Pyzo, vous obtenez un environnement de travail  Ipython (Console + Editeur + Outils)

Couple de VAR, suites de VAR

Définitions

Définition : Un couple de VAR est la donnée conjointe de deux variables $(X,Y)$ ; pour tout couple $(x,y)$ de $Z(\Omega)=X(\Omega)\times Y(\Omega), \ (Z=(x,y))=(X=x,Y=y)=(X=x)\cap(Y=y)$.

Loi conjointe : On appelle loi de probabilité conjointe de $X$ et de $Y$ l'application $\displaystyle\left\{ \begin{array}{ccc}  X(\Omega)\times Y(\Omega)&\rightarrow&[0,1] \\ (x,y)&\mapsto& P(X=x,Y=y)=P((X=x)\cap(Y=y))  \end{array}\right.$

Variables aléatoires réelles

Définitions

Soit $(\Omega,\mathcal P(\Omega),P)$, ($\Omega$, ensemble fini) un espace probabilisé.

VAR : On appelle variable aléatoire réelle sur $\Omega$ (VAR en abrégé) toute application $X$ de $\Omega$ dans $[0,1]$.

On écrit $X(\Omega)=\{X(\omega),\omega\in\Omega\}=\{x_i,\, i\in[[1,n]]\}$ (par convention : $x_{i}<x_{i+1}$).

Si $B$ est une partie de $ R$, on note  $(X\in B)=\{\omega\in\Omega/X(\omega)\in B\}$ ou encore $(X=a), (X\geq a), (a<X<b) \dots$

Fonction de deux variables

Définitions

fonction numérique de deux variables

On appelle fonction numérique de deux variables toute application $f$ d'une partie $D\subset  R^2$ et à valeurs dans $ R$.

$$f\begin{array}{clc} R^2&\to & R,\\(x,y)&\mapsto z.\end{array}\text{ et }z=f(x,y)$$

L'ensemble de définition d'une fonction de $ R^2$ dans $ R$ est l'ensemble de tous les couples $(x,y)$ de $ R^2$ pour lesquels on peut déterminer une image par $f$, il peut être représenté par une portion du plan.

Intégration II

Calcul Intégral

Définition :  Soit $f$ définie et continue sur  $I$, intervalle de $ R$, $(a,b)\in I^2$,     on appelle   intégrale  de $a$ à $b$ de $f$  le réel $\displaystyle\int_a^b f(t)\ dt=\big[F(t)\big]_a^b=F(b)-F(a).$

Théorème Intégration par parties : Si $u$ et $v$ sont deux fonctions de classe $C^1$ sur un intervalle $I$ alors $\displaystyle\forall (a,b)\in I^2, \int_a^b u'(t)v(t) \ dt =\Big[u(t)v(t)\Big]_a^b -\int_a^b u(t)v'(t) \ dt $

Développements limités

Généralités

Pour $n\in Z$, on dit que $g$ est  un petit-o de $x^n$  au voisinage de $0$  et on écrit $g =  o(x^n)$ lorsque $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{g(x)}{x^n}=0$. (respectivement au voisinage de +$\infty$).

Notation : on note $o(x^n)$ toute fonction qui est un  petit-o de $x^n$  au voisinage de $0$, on précise $o_{\infty}(x^n)$  en +$\infty$.

Continuité, dérivabilité sur un intervalle

Continuité sur un intervalle

Une fonction est continue sur un intervalle $I$, si sa restriction à $I$ est continue en tout point de $I$.

Théorème :  L'image par une fonction continue d'un intervalle est un intervalle (Théorème des valeurs intermédiaires).

Conséquence : si $f$ est une fonction définie continue sur un intervalle $I$ contenant les réels $a$ et $b$ alors 

Statistiques

Série univariée

  • statistiques : ce sont les méthodes pour étudier un ensemble de données souvent numériques dont on souhaite analyser certaines caractéristiques.
  • population, individus : l'ensemble de ces données s'appelle la population, les éléments,  individus ou unité statistiques.
  • échantillon : c'est une  liste d'individus issus de la population sur laquelle est effectivement effectuée l'étude statistique.

Dénombrements - Probabilités

Dénombrement

L'ensemble $E$ est fini s'il est vide ou s'il existe un entier naturel $n$ et une bijection de $[[1,n]]$ sur $E$.

Les apllications linéaires

Le document joint comporte

  • un tableau mettant en parallèle les notions sur les systèmes, les espaces vectoriels, les matrices et les applications linéaires.
  • deux fiches de méthodes répondant aux questions posées sur les applications linéaires.

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