Espaces Vectoriels

L'espace vectoriel $K^n$

L'espace vectoriel $K^n$ est l'ensemble des $n$-uplets de $K^n$ muni de  l'addition vectoriel et la multiplication par un scalaire.

Les éléments de $K^n$ sont appelés des vecteurs, les éléments de $K$ des scalaires.

On dira que $x_i$ est la $i$-ème omposante du vecteur $u=(x_1,x_2,\dots, x_n)$.

Une famille de $p$ vecteurs est une liste de $p$ vecteurs $A=(u_1, u_2\dots,u_p)$.

Matrices

Matrices $\mathcal{M}_{pq}(K)$

Soit $p,q$ deux entiers strictement positifs. $K$ désigne $R$ ou $C$. 

Une matrice $A$ à $p$ lignes et $q$ colonnes, à coefficients dans $K$ est une famille d'éléments $a_{ij}$ de $K$ indexée par deux indices.

Géométrie

On se place dans le plan $\mathcal{P}$ et l'espace géométrique $\mathcal{E}$ usuels munis d'un système orthonormé, $P$ et $E$ leur espace vectoriel associé.

 

Systèmes Linéaires

 $n$ et $p$ désignent des entiers naturels non nuls,  $ K$ désigne $ R$ ou $ C$. Les éléments de $ K$ sont appelés les scalaires.

Définitions :Un système linéaire de $p$ équations à $n$ inconnues est un système du type :

 

Calcul Intégral - Première Partie

Formulaire - Dérivées

 

-- Les fonctions classiques, excepté $x\mapsto |x|,\ x\mapsto Ent(x),\ x\mapsto \sqrt[n]{x}$ sont dérivables sur leur ensemble de définition.

Formulaire : voire Fiche

-- La somme, le produit, le quotient, la composée de fonctions dérivables sont dérivables.

Formulaire : voire Fiche

Intégration

on appelle  primitive d'une fonction $f$ définie sur $I$, intervalle de  $R$, toute fonction $F$ dérivable sur $I$ vérifiant  $F'=f$

Limites de Fonctions

Généralités sur les fonctions numériques

$D$ étant une partie de $R$ incluse dans l'ensemble de définition de $f$

Fonctions puissance

Fonctions Puissance entière

Pour $n\in N^*$,$f_n : x\mapsto x^n=\underset{n \textrm{ fois}}{\underbrace{x\times x\times\dots\times x}}$,

$f_n : x\mapsto x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}$ est définie  et dérivable sur $ R^*$

$f_n$ est définie  et dérivable sur $ R$, $f'_n(x)= nx^{n-1}$

Logarithme

Définition

La fonction ot{logarithme népérien est l'unique primitive sur $R_{+}^*$ de la fonction inverse s'annulant en 1 : $\displaystyle\forall x\in R_+^*,\ \ln x=\ \int_1^x \dfrac{\ dt}{t}$.

$\ln :  R_{+}^*\rightarrow  R$ est une bijection continue, strictement croissante, dérivable sur  $ R_{+}^*$

On définit le logarithme de base 10 par : $\forall x\in R_+^*,\ \log(x)=\log_{10}(x)=\dfrac{\ln x}{\ln 10}.$

Remarque :  Si $10^p\leq x < 10^{p+1}$, ($p\in N$), alors Ent($\log(x)$)=$p$.

Exponentielle

La fonction exponentielle, notée $exp$ ou $x\mapsto e^x$, est la bijection réciproque de la fonction $\ln$.

 

$exp : R\rightarrow R_{+}^*$ est une bijection continue, strictement croissante, dérivable sur $R$.

 

Bijection

Applications

Une application $f$ d'un ensemble $E$ (ensemble de départ) dans un ensemble $F$ (ensemble d'arrivée) est une correspondance qui, à tout élément $x$ de $E$ associe un unique élément de $F$. On la note :

$$f: \left \{\begin{array}{lll}E & \longrightarrow & F\\x & \longmapsto & f(x)\end{array}\right. $$

Si $y=f(x)$, $y$ est dit image de $x$ par $f$ et $x$ antécédent de $y$ par $f$.

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