Suite Calcul de limites

Opérations sur les limites et indétermination

$(u_n)_{n}$ et $(v_n)_{n}$ deux suites réelles, $l$ et $l'$ deux réels

Suite u(n+1)=f(u(n))

Premières valeurs

il est possible de visualiser sur un axe gradué la position des termes de la suite en s'aidant de la représentation graphique $(C_f)$ de la fonction $t\mapsto f(t)$ et de celle de $(\Delta)$ de la fonction $t \mapsto t$.

Suite Variation-Encadrement

Variations

Une suite $(u_n)_{n\in N}$ est dite croissante    (respectivement  décroissante) si     $\forall n\in N,\ u_n\leq u_{n+1}$ ( resp. $u_n\geq u_{n+1}$)

Suites Convergence

Définitions

Une suite réelle $(u_n)_{n\in N}$ est dite convergente s'il existe un réel $\ell$ tel que $$\forall \epsilon > 0,\ \exists n_0\in N\ (n\geq n_0\Rightarrow

|u_n-\ell|\leq \epsilon)$$

Une suite réelle $(u_n)_{n\in N}$  a pour limite $+\infty$ ou diverge vers $+\infty$ (respectivement $-\infty$) si

$$\forall A\in R,\ \exists n_0\in N\ (n\geq n_0\Rightarrow u_n\geq A (\text{ resp.} u_n \leq A)$$

Suites Classiques

Suites Classiques

  • Suites arithmétiques : pour tout $n\in N,\ u_{n+1}=u_n+r$ $ \Leftrightarrow$ pour tout $n\in N,\ u_n = u_0+nr$.

N.B. : $u_n=u_p+(n-p)r$.

  • Suites géométriques : pour tout $n\in N,\ u_{n+1}=u_{n+1}=q.u_n  \Leftrightarrow$ pour tout $n\in N,\ u_n = u_0 q^n$.

N.B. : $u_n=u_pq^{n-p}$.

Polynômes

$K$ désigne $R$ ou $C$. Les éléments de $K$ sont appelés scalaires.

 

L'ensemble $ K[X]$

Une fonction $P: K\rightarrow  K$ est  un polynôme à coefficients dans $ K$ s'il existe un entier naturel $n$ et $n+1$ éléments de $ K$ $(a_0,a_1\dots a_n)$ tels que :

\qquad $\displaystyle \forall x\in K,\ P(x)=a_0+a_1x+\cdots a_nx^n=\sum_{k=0}^na_kx^k$.

 

Somme - Produit

Les résultats sont valables sur $C$ et sur $R$.

Symboles somme et produit

Soient $p$ et $n$ des entiers naturels tels que $0\leqslant p\leqslant n$. Soient $x_p$, $x_{p+1}$,..., $x_n$, $n-p+1$ scalaires. Alors  on note

$\displaystyle \sum_{k=p}^{n}x_k=x_p+x_{p+1}+...+x_n$ ; $\displaystyle \prod_{k=p}^{n}x_k=x_p\times x_{p+1}\times\dots\times x_n.$

Remarques :  Si l'ensemble des indices est vide, la somme est nulle, le produit vaut 1.

Factorisation par (x-a)

Racine

On dit qu'un polynôme $f$ est factorisé sur $R$ ou $C$ s'il existe deux polynômes $P$ et $Q$ de degré strictement supérieurs à 1 tels que  $f=PQ$.

On dit que $a$ est une racine  du polynôme $f$ si $f(a)=0$.

Théorème : si $a$ est un zéro de $f$ alors il existe un polynôme $Q$ tel que $f(x)=(x-a)Q(x)$.

 

C

Forme algébrique,  exponentielle

    Les nombres complexes peuvent être représentés par des points du plan : $z$ est l'affixe du point $M$, du vecteur $\overrightarrow{OM}$.

Trigonométrie

$ \cos2x = \cos^2x-\sin^2x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2x $ ; $\sin2x = 2\sin x\cos x $

$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ $  \sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$.
$  \tan 2x  = \frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}$

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